Jdi na obsah Jdi na menu
 


Matika01

1. 6. 2008
MATEMATIKA VE STAROVĚKÉM ŘECKU A ŘÍMU

Ondřej Venhoda 2003
ondrej.venhoda@centrum.cz

1. Úvod

Matematika je věda o kvantitativních a prostorových vztazích skutečného světa. Patří k nejstarším vědním oborům.
Skutečnou vědou se stala až s nástupem antického světa. Již staří Egypťané a Babylóňané měli mnoho matematických znalostí a nadto je uměli velmi obratně využívat. O matematice jako vědecké disciplíně v té době ale ještě mluvit nemůžeme. Je to proto, že matematika stejně jako každá jiná věda musí – aby mohla být považována za vědu – odpovídat nejdříve na otázku „proč“. Egypťané věděli, že v trojúhelníku se stranami dlouhými 3, 4 a 5 loktů je jeden úhel pravý. Ale proč je pravý, to si už neobjasňovali.

Sotva se řecká matematika zrodila, snažila se každé matematické pravidlo objasnit a dokázat, že je skutečně pravdivé. Proto se řečtí učenci vzájemně přeli, posuzovali a pokoušeli se najít chyby na svých úsudcích. Začali jako první matematiku budovat systematicky na principu úsudek (věta) - důkaz. Matematika tak vstoupila do 2. fáze své historie (od cca 6. století př. n. l. až do 17. stol. ). Poznatky se už nezískávají jen experimentálně, ale i na základě úsudku. Matematika se mění na vědu deduktivní.

Nebyla náhoda, že se řečtí učenci zabývali tolik matematikou. „Matematika je klíč ke všem vědám,“ řekl jeden z nich, a měl pravdu, protože vše, co lze změřit či vyjádřit čísly, se může stát předmětem matematického bádání. Možná i proto nechal jiný řecký učenec Platón nad dveřmi domu, v němž se scházel se svými žáky, vytesat heslo: „Neznalý geometrie nechť nevstupuje do těchto dveří.“ V Platónově napisu se mluví pouze o geometrii a nikoli o matematice vůbec. Řekové totiž dosáhli v geometrii větších úspěchů než v aritmetice. Hlavní příčinou byl fakt, že řecká číselná soustava nebyla poziční (řády se označovaly písmeny alfabety). Byl zde mj. i problém s vysokými čísly. Řecké slovo „myriáda“, používané ve významu „velmi mnoho“, znamenalo pouze 10000. Lépe na tom nebyli ani staří Římané s římskými číslicemi.

Římský přínos k matematice je takřka nulový. Nejenže nepomohli rozvoji matematiky, ba dokonce si ani nedokázali osvojit výsledky řeckých vědců.

2. Řecko
2.1 Pythagoras
(cca 572 – 494 př. n. l.)
Pythagoras sice nebral matematiku jako samostatnou vědu, ale postavil ji přímo do středu své filozofie.
Hlavním podnětem pro něj byl jeho vlastní důležitý objev: zjistil, že výška hudebního tónu závisí na délce struny. Mezi tóny hudební stupnice existují přesné číselné vztahy – hudbu lze tedy vyjádřit matematicky. Začal se proto soustavně o matematiku zajímat a dospěl k pozoruhodnému filozofickému závěru: vlastnosti hmotného světa neurčuje sama hmota, ale naopak nehmotné matematické vztahy.

Podle Pythagora je číslo podstatou všeho. Číslo je princip, který dává určitost, jasnost a pozorovatelnost. Fascinovalo ho „mystérium čísel“ – sudým číslům odpovídalo zlo, temnota a ženy, lichým naopak dobro, světlo a muži. Domníval se třeba, že jednička znamená rozum, trojka moc a sedmička zdraví.

Zábýval se taky tzv. perfektními čísly ( perfektní číslo je takové číslo, které je rovno součtu svých alikvotních částí; alikvotní (obsažená beze zbytku) část určitého čísla je vlastní podíl tohoto čísla ).
Př.: Alikvotními části čísla 10 jsou 1, 2 a 5, protože platí: 1 = 10/10, 2 = 10/5, 5 = 10/2
Pozn.: Číslo 10 není alikvotní částí čísla 10, protože není vlastním podílem, tj. neodlišuje se od čísla samotného.

Pythagoras zjistil, že součet úhlů v trojúhelníku se rovná dvěma pravým úhlům, tj. 180 stupňům.
Za největší Pythagorův objev bývá považována Pythagorova věta. Jde však také o největší omyl ve spojení s jeho osobou. Pythagorovu větu ( součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou – c2 = a2 + b2 ) nevymyslel Pythagoras. Byla známa ve starověkém Babyloně dávno předtím. Už za vlády Chamurapiho (1728 – 1686 př. n. l.) se stala součástí výuky. Pythagoras pouze odpověděl na otázku „proč?“. Stanovil zákon, že věta neplatí jen pro jeden či pro skupinu trojúhelníků, ale pro všechny trojúhelníky vůbec.

I Pythagorovi žáci a následovníci významně přispěli k rozvoji matematiky a dalších vědních oborů. Pythagorovská společenství můžeme s nadsázkou označit za první „vědecká centra“ starověku. K nejvýznamějším písemné památce pythagorovské školy patří Nikomachosův úvod do aritmetiky. I Nichomachos se zabýval perfektními čísli. Potvrdil pravdivost Euklidova algoritmu pro generování perfektních čísel.

Za největší objev Pythagorovské školy bývá považován objev iracionality čísel, který vychází z nesouměrnosti úseček.

2.2 Euklides
( není známo – 270 př. n. l.)

Euklides bývá považován za otce matematické přesnosti.
Jeho nejvýznamější dílo Elementy ( Základy ) se skládá z 13 knih a je v nich shrnuta veškerá elementární geometrie vyučovaná na světových školách. Jsou zde systematicky shromážděny všechny do té doby známé matematické poznatky. Dnešní středoškolská geometrie je v podstatě obsahem prvních čtyř dílů. Elementy se staly největším bestsellerem ze všech učebnic v historii.

Naprosto nejdůležitější je metoda, kterou Euklides při psaní Elementů použil. Na počátku totiž zvolil pět základních axiomů geometrie. Jedná se o poučky, které jsou tak jednoduché, že je nelze odvodit z žádných ještě jednodušších pouček. Jsou tak očividné, že o jejich správnosti nepochybujeme. Ze základních axiomů postupně vyvozuje všechna další tvrzení (výroky) geometrie. Euklides tím položil pevný základ celé matematiky. Jeho axiomatická metoda se stala vzorem precizního logického myšlení jak v samotné matematice, tak i v celé přírodovědě. Díky tomu můžeme Euklida označit za otce matematické přesnosti.

Euklidovy základní kameny, neboli „samozřejmé“ axiomy, jsou tyto:

I.Mezi dvěma body může být proložena úsečka.
II.Úsečka může být prodloužena spojitě na přímku
III.Kruh může být opsán z libovolného středu a s libovolným poloměrem
IV.Všechny pravé úhly jsou si rovny

Pátý postulát je v Euklidově pojetí složitý, základní myšlenka může být vyjádřena pomocí následující formulace (Euklidův pátý postulát neobsahuje pojem „rovnoběžný“). Někteří matematici si problémem, zda není 5. axiom důsledkem předchozích čtyř, lámali hlavu celý život. Odpověď nalezl až Karl Gauss v roce 1799. Zjistil, že 5. axiom je na prvních čtyřech nezávislý, ale můžeme ho změnit a pak dostaneme úplně nový typ geometrie – neeuklidovskou geometrii zakřiveného prostoru.

V.Je-li dána přímka a bod ležící mimo ni, existuje jen jedna přímka procházející tímto bodem a rovnoběžná s původní přímkou

Je patrné, že Euklidovy axiomy jsou zviditelněním nejelementárnějších geometrických konstrukcí. Jsou prováděny pouze pomocí pravítka a kružítka. Pokud konstrukce využívá něco víc než jen pravítko a kružítko (např. tzv.francouzskou křivku), nemůže být nikdy redukována na pět základních axiomů, tj. její správnost nemůže být v očích Řeků nikdy dokázána.

Elementy jsou vystavěny podle jednotného logického schématu a jejich teorie vycházejí co do struktury již z pojetí Aristotelova.

Úplná geometrická věta má šest částí:
1.obecné vyjádření
2.konkrétní vyjádření problému podle daných fakt
3.vymezení nebo vysvětlení
4.konstrukce s dodatky, co je třeba udělat pro důkaz
5.vlastní důkaz
6.závěr, který se vrací k formulaci věty, a je stejně jako věta obecný
Elementy jsou vzorem deduktivní soustavy a důsledného výkladu, který jde od obecných tvrzení ke speciálním. Indukce je však v nich ve skryté formě obsažena též, neboť geometrické pojmy a logické postupy jsou výsledkem mnohokrát opakované zkušenosti při poznávání předmětů, vlastností a vztahů reálného světa. Podobná situace je i s analýzou a syntézou. I když se otevřeně nepoužívá analytická metoda, nebylo by možné bez analýzy nalézt důkazy.
V následujících dílech Elementů se zabývá dalšími otázky geometrie a poté podává výklad teorie čísel. Pozoruhodné je, že i aritmetické operace provádí pomocí geometrie – Řekové neznali žádný vhodný číselný zápis, a tak Euklides všechna čísla znázorňuje úsečkami.

Pomocí této metody např. podal důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Euklides ale nejprve předpokládal, že prvočísel je konečně mnoho. Pokud si označíme počet prvočísel n, prvočísla pak p(1), p(2), …p(n), dojdeme k obecné platnosti:
P = [ p(1) · p(2) · p(3) · … · p(n) ] + 1
Např.: (2 ·3) + 1 = 7 ; (2 · 3 · 5) + 1 =31
Je vidět, že takto utvořené číslo není dělitelné žádným prvočíslem, které je v součinu. Dělení vždy vychází se zbytkem jedna. Protože každé číslo s výjimkou jedničky je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, musí být takto utvořené číslo prvočíslem.

Euklides a další řečtí matematici udělali ohromný pokrok v matematice možná i proto, že se jejich geometrie vyhnula numerickým výpočtům, a tak nebyla omezena nutností srozumitelného vyjádření algebraických vztahů. Euklidovo tvrzení, že
V kruhu patří stejné tětivy ke stejným obloukům nebo
Jestliže odpovídající si úhly dvou trojúhelníků jsou stejné, pak jsou odpovídající si strany sobě úměrné
nebylo vylepšeno dodnes.

Euklides se zabýval i tzv. perfektními čísly ( viz. Pythagoras ). Ukázal, že pokud součet po sobě jdoucích druhých mocnin čísla 2 dává prvočíslo, pak součin poslední druhé mocniny v součtu a tohoto prvočísla je perfektní číslo.
Př.: 1 + 2 + 4 = 7 ( prvočíslo ) => 7 · 4 = 28 ( perfektní číslo )
Obecně: 1 + 2 + 4 + ... + 2k-1 = 2k – 1
Je-li pro nějaké k > 1 číslo 2k - 1 prvočíslem, pak číslo 2k-1 · (2k - 1) je perfektní číslo.
Euklides formuloval i dvě věty, které platí pro každý pravoúhlý trojúhleník. Věta o výšce: Obsah čtverce nad výškou je roven obsahu obdélníku sestrojeného k úseku přepony.
vc2 = ca · cb
Věta o odvěsně: Obsah čtverce nad odvěsnou je roven obsahu obdélníku sestrijeného z přepony a přilehlého úseku na přeponě.
a2 = c · ca

2.3 Archimedes ze Syrakus
( 287 – 212 př. n. l.)
Archimedes patří k nejvýznamějším antickým matematikům.
Díky unikátním experimentálním metodám můžeme Archimeda označit za prvního „vědeckého inženýra“ v historii. Jeho hlavní zásluha spočívá v tom, že důsledně spojil matematiku s fyzikou a teorii s experimentem. Příklad je jeho šroubové čerpadlo, princip páky ve válečných strojích či objev hydrostatického zákona.

Byl prvním matematikem, který řešil mnoho obtížných geometrických úloh. Došel k metodám, jejichž pomocí mohl vypočítávat obsahy i objemy různých tělěs, a s velkou přesností stanovil poměr délky obvodu kružnice k jejímu průměru, což představuje číslo ?.

Je to založeno na faktu, že obvod pravidelného mnohoúhelníku vepsaného do kruhu je menší než obvod kruhu, zatímco obvod mnohoúhelníku kružnici opsaného je větší. Archimedes začal od šestiúhelníku a pokračoval tak, že zdvojoval počet stran, až dospěl k mnohoúhelníku s 96 stranami, a to dávalo:
3 + 10/71 ? ? ? 3 + 1/7
v desetinném záznamu 3,14084 ? ? ? 3,142858
Tento výsledek získal bez trigonometrie a bez desetinné (nebo jiné poziční) notace.

Další úlohou, kterou řešil, byl poměr objemu koule vepsané (vložené) do rovnostranného válce k objemu tohoto válce. Vypočítal, že objem takto vepsané koule je roven 2/3 objemu válce. Projevil také přání, aby na jeho náhrobním kameni bylo zobrazeno schéma této úlohy. Jeho příspěvek v podobě výpočtů plošných obsahů rovinných obrazců a objemů těles byl důležitým mezníkem na cestě k objevení integrálního počtu.

Jeho knihy nejsou srovnatelné s ničím jiným, co ve starověku vzniklo. Mezi nejznámější patří:
O rovnováze ploch – shrnutí principů teoretické mechaniky a způsob určování těžiště trojúhelníku, rovnoběžníku a lichoběžníku
O měření kruhu - plocha kružnice je rovna ploše trojúhelníka o výšce rovné poloměru a základně obvodu kruhu
O kouli a válci – viz. úloha výše
O spirálách – pojem spirála ( čára opisovaná bodem rovnoměrně se pohybujícím po přímce, která se rovnoměrně otáčí v rovině kolem jednoho svého nehybného bodu )
Počítání písku - výklad postupu jak vyjádřit libovolně velké číslo

O konoidech a sféroidech
Kvadratura paraboly – jeho metoda kvadratury paraboly dosáhla prahu integrálního počtu

2.4 Eratoshtenes z Kyrény
( cca 275 – 195 př. n. l. )
Eratosthenes byl v korespondenčním styku např. s Archimedem. Díky tomu se dochovalo mnoho Archimedových myšlenek. Sám pak matematice přispěl především v oblasti aritmetiky.

Erasthotenes používal k vyhledávání prvočísel voskové tabulky s napsanými přirozenými čísly většími než l. Nejmenší číslo v tabulce bylo 2. Toto číslo v tabulce ponechal, ale horkou jehlou vypálil všechny za ním následující násobky čísla 2. Za číslem 2 zůstalo v tabulce číslo 3. Toto číslo opět ponechal a jehlou vypálil za nim následující násobky čísla 3, které v tabulce zůstaly po odstranění násobků čísla 2. Nyní zůstalo v tabulce za číslem 3 až číslo 5. Také to v tabulce ponechal, ale vypálil za ním následující násobky čísla 5, které v tabulce ještě byly. A tak pokračoval dále. Na konci výpočtu připomínala tabulka síť. Proto se i dnes tato metoda hledání prvočísel nazývá Eratosthenovo síto.
Řecké matematiky dosti zajímala úloha, která vešla do historie matematiky pod názvem „zdvojení krychle“. Je dána krychle o hraně „a“. Úloha hledá konstrukci hrany krychle, jejíž objem je dvojnásobkem objemu původní krychle o hraně „a“. Řekové se úlohu snažili rozřešit pouze s použitím kružítka a pravítka. Dnes je již dokázáno, že tento požadavek je nesplnitelný. Eratosthenes zkonstruoval pomůcku, jejíž pomocí lze tuto proslulou úlohu řešit – velmi se přibližuje správnému výsledku.

Mezi rovnoběžnými úsečkami AB a CD jsou umístěny tři shodné pravoúhlé trojúhelníky 1, 2, 3. První je umístěn pevně, druhý a třetí se mohou mezi AB a CD rovnoběžně posouvat. Pokud je K střed úsečky DB a trojúhelníky 2 a 3 jsou posunuty tak, aby průsečíky stran trojúhelníků L a N ležely na přímce AK, pak krychle o hraně ML má objem dvakrát větší než krychle o hraně DK.

Eratosthenes vypočítal také s přesností 5% obvod zeměkoule na základě pozorování vzdálenosti zenitu Slunce na dvou místech se známou vzdáleností, Alexandrie a Syeny, ležících přibližně na tomtéž poledníku. S použitím trigonometrických tabulek ( pomocí vzorců pro poloviční úhel a součtových vzorců ) vypočetl vzdálenost k Měsíci a Slunci( metoda byla správná, ale kvůli nedokonalosti měřících přístrojů vypočetl vzdálenost Měsíce s velkou chybou, vzdálenost Slunce však odpovídala ).

2.5 Thales z Milétu
(cca 625 – 545 př. n. l.)

Thales učinil závažné objevy v geometrii.
Naučil Egypťany určovat výšku pyramidy podle jejího stínu. Výška pyramidy je tolikrát větší než délka stínu, kolikrát je stín hole kratší než samotná hůl.

Je autorem věty o obvodovém úhlu nad průměrem kružnice:
Všechny obvodové úhly odpovídající oblouku na kružnici jsou shodné a jejich velikost je polovina velikosti středového úhlu, který odpovídá témuž oblouku.

Do všeobecného podvědomí se dostala tzv. Thaletova kružnice. Využívá následující definice:
Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé

2.6 Apolonios z Pergy
( 262 – 200 př. n. l. )
Vedle Euklida a Archimeda poslední velký matematik helénistického období, které je považováno za zlatý věk řecké matematiky.

Jeho hlavním dílem je kniha Kuželosečky. Zavedl základní pojmy teorie kuželoseček: vrchol kuželosečky, průměr, sdružené průměry, osy, parabola, elipsa, hyperbola. Kuželosečky získával řezem kuželové plochy rovinou. Základní vlastnosti kuželoseček jsou dány vtahy mezi průměrem kuželosečky a k němu sdruženými tětivami, které v dnešní terminologii vedou k rovnicím kuželoseček.

2.7 Další osobnosti

Anaxagoras z Klazomen ( 500 – 428 př. n. l. ) – jako jeden z prvních se pokoušel vyřešit úlohu „kvadratury kruhu“ – konstrukce čtverce s plochou stejnou jako plocha daného kruhu

Antifon ( 5. stol. př. n. l. ) – řešení kvadratury kruhu principem „vyčerpání“ ( vepsání n-úhleníků do kruhu )

Hippias z Elidy ( 5. stol. ) – pokus o vyřešení „trisekce úhlu“ – rozdělení úhlu na tři stejné části ( pomocí křivky, kterou objevil – trisektris ). Toto řešení je sice správné, ale odporuje řeckým „pravidlům“ ( viz. kapitola 4. )

Hippokrates z Chiu ( 5./4. stol. př. n. l. ) – první, kdo přesně určil plochu obrazce omezeného křivkami – tzv. „Hippokratovy menisky“ ( měsíčky )

Platon ( 427 – 347 př. n. l. ) - zavádí pojem geometrická místa bodů, propaguje typické řecké řešení konstrukčních úloh – pouze pomocí pravítka a kružítka , znal pravidelné mnohostěny

Theaitetos ( 415 - 369 př. n. 1. ) - zabýval se problémem dělitelnosti čísel. Vyšel z předpokladu, že celá řada druhých odmocnin z přirozených čísel není vyjádřitelná racionálními čísly ( zlomky ). Připisují se mu rovněž některé části Euklidových Elementů, zabývající se stereometrií pravidelných mnohostěnů.

Eudoxus z Knidu ( 408 – 355 př. n. l. ) – připisuje se mu tzv. exhaustivní metoda, která umožňuje výpočet obsahů a objemů. Podstata této metody spočívá v tom, že veličina, která má být spočtena ( např. obsah kruhu ), se „ohraničí“ dvěma jinými známými veličinami, z nichž jedna stále roste, zatímco ta druhá se zmenšuje. Příklad: u zmiňovaného obsahu kruhu potřebujeme vepsaný a opsaný pravidelný n-úhelník, přičemž n nabývá hodnot 6, 12, 24…. Rozdíl mezi stále se zmenšující a naopak zvětšující se veličinou se stále více zmenšuje, takže nakonec můžeme určit námi hledanou hodnotu s libovolnou přesností.

Aristoteles ( 384 – 322 př. n. l. ) – soudil, že Antifonův princip vyčerpání a Hippokratova kvadratura ( princip měsíčků ) jsou nesprávné. Jeho znalost matematiky a fyziky však nebyla vysoká – jeho dílo Fyzika je pouze dlouhá řada nepodložených spekulací vzdálených od jakýchkoliv kvantitativních vztahů

Aristarchos ze Samu ( cca 320 – 250 př. n. l. ) – výpočty vzdáleností Slunce a Měsíce

3. Řím

Starověký Řím byl plný kulturních pokladů, ale světlo, které vyzařoval, bylo vypůjčené- od Řeků a dalších národů, které Římané zotročili. Římané nejenže nepomohli dalšímu rozvoji matematiky, ale dokonce si ani nedovedli osvojit pozoruhodné výsledky řeckých vědců. Římští zeměměřiči a stavitelé ovládali jen zlomky řecké matematiky. Symbolicky tak vyznívá příběh z roku 212 př. n. l. Římský voják se obrátil na pětasedmdesátiletého řeckého myslitele. Myslitel si nepřál být rušen do té doby, než provede důkaz problému, na kterém pracoval. „Neruš mé kruhy!“ řekl myslitel vojákovi. To vojáka rozčílilo, vytáhl meč a myslitele probodl.
Jméno tohoto vojáka bylo zapomenuto.
Jméno myslitele bylo Archimedes…

Hlavní dědictví po starém Římě, které setrvalo v matematice, je svérázný způsob číselného zápisu- římské číslice. I dnes je můžeme vidět např. na hřbetech knih, v číslování kapitol či na ciferních hodinách.
Za zmínku stojí např. jméno Posidonius ( 135 – 51 př. n. l. ). Užil stejnou metodu při výpočtu obvodu země jako Eratosthenes. Na druhé straně jím používaná hodnota ? byla stejná jako u Babyloňanů o 2000 let dříve.

4. Závěr

Cílem této práce bylo přiblížit význam především řeckého přínosu k matematice. Matematici jako Archimedes či Euklides předběhli výrazně svou dobu a jejich poznatky jsou i dnes nezpochybnitelné. Archimedova aproximace hodnoty ? se stala na mnoho staletí nejpřesnější. Vyvstává i hodně otazníků , a to především ve vztahu ke 3 proslulým úlohám, které ve starověkém Řecku nebyly nikdy plně vyřešeny – kvadratura kruhu, trisekce úhlu a zdvojení krychle. Např. kvadraturu kruhu sice byla vyřešena, ale postup odporoval řeckým principům geometrie ( konstrukce za použití pouze pravítka a kružítka konečným počtem úkonů ). Tyto úlohy byly vyřešeny až 2500 let poté, co se jimi slavní Řekové zabývali.

Matematika je věda, která má velmi úzké spojení s jinými vědními obory, které by se bez ní jen těžko obešly. Určité teorie jsou na matematice dokonce závislé. Nejvíce znatelné je to ve fyzice a v biologii. V dnešní době, kdy věda a technika učinily obrovské pokroky, jsou kladeny na určité obory zvýšené požadavky v oblasti matematiky. Jen spolehlivě pojaté matematické znalosti umožňují inženýrům, technikům, konstruktérům i mistrům neustále držet krok s technickým rozvojem a matematickou přesností plnit požadavky na ně kladené.

A právě v antické době se matematika stala skutečnou vědní disciplínou.